שאלה קצרה – מגדל קוביות – סכום ריבועים – בגרות חורף 2022 נבצריםסדרות 571 · שיעור 57

חורף 2022 נבצרים, שאלה 1 · סעיף ב

שיעור 57: שאלה קצרה – מגדל קוביות – סכום ריבועים – בגרות חורף 2022 נבצרים

פרק 9 – שאלות קצרות בסדרות (שאלה 1 בבגרות 571)

1נוסח השאלה

2סעיף ב (1) – מגדל בן 7 קומות

3סעיף ב (2) – מ־10 קומות ל־100 קומות

📄 נוסח השאלה

ב. נתון מגדל קוביות ובו 5 קומות (ראו ציור). הקומה התחתונה בנויה מ־25 קוביות המסודרות בצורת ריבוע. הקומה שמעליה בנויה מ־16 קוביות המסודרות בצורת ריבוע, וכך הלאה עד לקומה העליונה שבה יש קובייה אחת.

(1) כמה קוביות סך הכול דרושות כדי לבנות באותו אופן מגדל שבו 7 קומות?

📄 נוסח השאלה · המשך

(2) נתון מגדל ובו 10 קומות הבנוי באותו אופן. כמה קוביות צריך להוסיף למגדל זה, כדי שיהיו בו 100 קומות הבנויות באותו אופן?

אפשר להיעזר בנוסחה (לכל n טבעי):
1² + 2² + 3² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)6

סעיף ב (1) – מגדל בן 7 קומות

בקומות יש (מלמעלה למטה) 1, 4, 9, 16, … קוביות – ריבועים של מספרים טבעיים. במגדל בן 7 קומות:

1² + 2² + … + 7² = 7 · 8 · 156

📐 נוסחה: סכום ריבועים

= 8406 = 140

✅ פתרון סופי: 140 קוביות

📐 נוסחה: סכום ריבועים

1² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)6

סעיף ב (2) – מ־10 קומות ל־100 קומות

במגדל בן 10 קומות יש:

1² + … + 10² = 10 · 11 · 216 = 385

📐 נוסחה: סכום ריבועים

במגדל בן 100 קומות יש:

1² + … + 100² = 100 · 101 · 2016

📐 נוסחה: סכום ריבועים

= 338350

צריך להוסיף את ההפרש (הקומות החדשות נבנות מתחת לקיימות):

📐 נוסחה: סכום ריבועים

1² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)6

📐 נוסחה: סכום ריבועים

1² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)6

סעיף ב (2) – מ־10 קומות ל־100 קומות · המשך

צריך להוסיף את ההפרש (הקומות החדשות נבנות מתחת לקיימות):

338350 − 385 = 337965

✅ פתרון סופי: 337965 קוביות

📌 סיכום התשובות

סעיף ב (1)

140

סעיף ב (2)

337965

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא